1. Taxa de variació mitjana


La Taxa de Variació Mitjana (TVM) d'una funció en un interval [a,b] és:

f3.png

La TVM mesura l'augment o la disminució d'una funció en un interval.
El valor de la TVM coincideix amb el valor de la pendent de la recta tangent que uneix els punts [a, f(a)] i [b, f(b)].

APLICACIONS:
La velocitat mitjana d'un mòbil en un interval és la taxa de variació mitjana de la funció espai recorregut, e(t), en aquest interval.

- Exemple:
L'espai que ha recorregut un mòbil, en metres, està determinat per la formula següent:

Captura.PNG


Quina velocitat mitjana ha mantingut durant els tres primers segons?
La velocitat mitjana coincideix amb la taxa de variació mitjana de e(t):
TVM_correcte.png

Hem derivat l'equació aplicant la formula de la taxa de variació mitjana.
1. Trobem f(3), que és substituir la x per 3 en l'equació que ens donen d'entrada.
2. Trobem f(0), que és substituir la x per 0 en l'equació que ens donen d'entrada.
2. Substituïm els valors a l'equació de TVM, i calculant tantsols amb nombres, com una equació corrent, arribem al resultat de 14.

D'una funció lineal sabem que té pendent. En el cas de la gràfica següent, la pendent m, és m = 2, ja que avança una unitat, i en puja dues.
D'aquesta gràfica, la h n'és la longitud, on sovint la TVM és considerada un interval [x˳, x˳+h]

20120504_202930.jpg


2. Derivada d'una funció en un punt


La derivada d'una funció en un punt abscisa s'indica amb:
formula_PUNT2_I.png
És el valor d'aquest límit, si és finit i existeix.
En el cas de que substituim la x per x˳+h la formula queda de la següent manera:
Formula_PUNT2_II.png
Abans de calcular la derivada en un punt, però, s'ha de simplificar la TVM corresponent.

- Exemple:
Troba la derivada de la funció f(x) = 2x en = 3.
Comprova que les dues formules anteriors, són equivalents.
Utilitzem la primera de les definicions de derivada en un punt:
gf.png
Després comprovem que el resultat és el mateix quan fem servir l'altre definició:
24.png
En aquest exemple el que ens demanen són dos passos.
El primer pas, és amb la formula de la derivada en un punt. Aquí podem tenir problemes amb el límit, ja que sempre surt una indeterminació de tipus 0/0. Per això, s'ha de factoritzar, o dit d'una altre manera, s'han de trobar les arrels de les equacions que formen el numerador i el denominador.
En el segon pas, passa el mateix; el límit tendeix a la indeterminació de 0/0, ja que h té la tendència de 0. Al final de la factorització en aquest procés, les h (que no tenen valor numèric) desapareixeran de la funció, i podrem arribar al mateix resultat, al qual hem arribat amb la primera formula.


3. Interpretació geomètrica de la derivada


La derivada és la pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció en el punt P ( , f())
Si el punt B es va apropant a A, fins a confondre's amb aquest, la recta secant es transforma en la recta tangent, i β passa a ser α
És a dir:
- Quan B → A, és equivalent a dir que h → 0, i per tant el límit de la recta secant, és el límit de la recta tangent.
- Però quan βα, la tan β → tan β, que és equivalent ahh.PNG
Per tant la pendent de la tangent és igual a la tangent d'α, al límit de la tangent de β i al límit de la derivada en un punt.

grr.PNG

Grafic_PUNT_3_I.png


- Exemple:
Troba la pendent de la recta tangent a la gràfica de l'equació següent, en el punt d'abscissa x=2
f.PNG
Determinem la derivada de la funció en el punt x = 2. Per fer-ho calculem l'increment de la funció
33.PNG
34.PNG
Per tant, el pendent de la recta tangent és 4.
El que ens demanen a l'exercici és la pendent de la recta tangent, que no és res més que la DERIVADA. Per tant apliquem la formula del límit (quan h tendeix a 0) i el resultat és la pendent d'aquesta recta pendent, que és la que ens demanaven.

3.1 Equacions de la recta tangent i de la recta normal


L'equació de la recta tangent és:
311.PNG
L'equació de la recta normal és:
312.PNG

PUNT_3_grafica_recta_normal_i_tangent.PNG



4. Derivades laterals


Per a que una funció sigui derivable en un punt ha d'existir les derivades laterals, i aquestes han de ser iguals, és a dir, han de tenir el mateix valor. Quan ens apropem a aquest punt "a" per la dreta utilitzem la formula següent:
lim_laterals_FORMULA_per_l'esquerra.PNG
En canvi, quan ho fem per la dreta, hem de tenir en compte aquesta formula:
lim_laterals_FORMULA_per_la_dreta.PNG
Si els dos límits coincideixen diem que la funció és derivable en aquest punt.

- Exemple:
Troba les derivades laterals de la funció que apareix a continuació quan x=2.
enunciat_problema.png
Fem les derivades laterals de la funció següent, tant per la dreta com per l'esquerra, amb les formules corresponents:
problema_8_I.PNG
problema_8_II.PNG
Arribem a la conclusió que les derivades existeixen, i són iguals.
El que hem fet ha sigut aplicar la formula de la definició, i comprovar si els resultats de les derivades laterals coincideix.

5. Derivabilitat i continuïtat


La següent manera alternativa com a límit de la derivada és útil al investigar la relació que hi ha entre derivabilitat i continuitat. La derivada de f a c és:
51.PNG
Això, sempre i quan el límit existeixi, i si profunditzem més, arribarem a la conclusió que necessitem les derivades laterals, i que aquestes existeixin, i siguin iguals. Com ja hem vist abans, aquestes derivades s'anomenen derivades per la dreta i per l'esquerra. Es diu que f és derivable en un interval tancat [a,b] si és derivable a (A,B), i existeixin, a més a més, les derivades per la la dreta en el punt A, i les derivades per l'esquerra en el punt B.
Si una funció no és contínua en x = c, no pot ser derivable en x = c, funcions com les de valor absolut, que no són contínues en x = 0, i en conseqüència no son derivades quan x = 0.
Hem de tenir en compte que si una funció és derivable en un punt, és contínua en aquest punt, però si la funció és contínua no té per què ser derivable.

- Exemple:
Tenim la funció, la gràfica de la qual té un punt angular. Comprova si és o no és derivable en x=2 (que aquí és contínua), mitjançant les derivades laterals.
52.PNG
Fem les derivades laterals d'aquesta funció i tenim:
derivades_laterals._PER_L'ESQUERRA_problema..PNG
derivades_laterals._PER_LA_DRETA._problema..PNG

Com que la derivada de la dreta no és la mateixa que la derivada de l'esquerra, aleshores f no és derivable en x = 2, i la gràfica corresponent, no tindria recta tangent en aquest punt.
Aplicant la formula de les derivades laterals, com hem fet fins ara, amb la diferència que la tendència de x en un cantó s'apropa per 1,9999 i per l'altra banda s'acosta per 2,0001. Si coincideixen els nombres de ambdues formules, la funció és derivable en x=2. En cas contrari que no coincideixin els resultats finals) la funció no és derivable (que no vol dir que no sigui continua).


6. Funció derivada. Derivades successives


La funció derivada d'una funció f(x) és una altre funció, f '(x), que associa a cada punt x la derivada de f(x) en aquest punt.
Cal no confondre la derivada d'una funció f en un punt, amb la funció derivada; la primera és un nombre real, mentre que la segona és una funció. Tot i això, és habitual parlar de derivada, encara que ens referim a la derivada d'una funció.
61.PNG

Exemple:
Per mitjà de la definició, troba la funció derivada de la funció f (x) següent. Quin és el valor de f '(x) en els punts x = 2 i x = -1?
63.PNG
A partir d'aquest resultat podem obtenir directament f '(2) i f '(-1):
62.PNG i 64.PNG
El que hem de fer, doncs és:
1. Calcular la derivada de la funció que ens donen en funció de x
2. Un cop obtinguda la derivada, el que fem és substituir la x pels nombres que ens demanen; en aquest cas era 2 i -1.

6.1 Derivades successives


Si derivem la funció derivada, f'(x), obtenim una altre funció que anomenem derivada segona de f (x), i que l'escrivim f '' (x).
De la mateixa manera, podem determinar les derivades tercera, quarta,..., i fins derivar n vegades per a conseguir la derivada n-èsima de f(x).

- Exemple:
Fem servir la definició per a calcular les derivades successives de:
611.PNG
Desenvolupament del resultat:
612.PNG; 613.PNG ;
614.PNG; 615.PNG
Veiem que a partir de la derivada quarta, totes les funcions derivades són nul·les (0).
El que hem fet ha sigut calcular la derivada de f(x) que és f'(x). Un cop obtinguda aquesta, la tornem a derivar, i així fins a obtenir una conclusió. En aquest cas, i com a la majoria de funcions polinòmiques, la tendència de la pendent de la recta tangent, és a dir, de la derivada, és cap a 0. Però això no passa amb totes les funcions, no s'ha de generalitzar.


7. Operacions amb derivades



Tal i com els límits, les derivades també es poden operar entre si. Vegem les següents operacions:
SUMA:
71.PNG

- Exemple:
Fer la suma de la següent derivada:
deribada_de_la_suma_(per_separat_i_conjuntament).PNG

PRODUCTE:
73.PNG

PRODUCTE AMB UN ESCALAR:
72.PNG

QUOCIENT:
74.PNG



8. Regla de la cadena


Ara analitzarem una de les regles de derivació més importants: la regla de la cadena. És una regla que s'aplica a les funcions compostes i afegeix versatilitat a les regles analitzades a les dos seccions precedents. En resum, sense aquesta regla, algunes funcions no serien derivables, tot i que ni ha de que sí. Posem uns exemples a continuació:
Sense la regla de la cadena:
cadena_I.PNG
Amb la regla de la cadena:
cadena_II.PNG

En esècia, la regla de la cadena estableix que si y canvia dy/du vegades més ràpid que u, mentre que u canvia du/dx vegades més ràpid que x, aleshores y canvia (dy/du) (du/dx) vegades més ràpid que x. Hem de saber, que la u és la funció interior de f(x).
La formula de la regla de la cadena és:
derivada_de_f_o_g.PNG

- Exemples:
1.Utilitza la regla de la cadena en la funció següent:
CIII.PNG
c4.PNG
Per aquesta funció hem considerat la u:
c55.PNG
2. Aplica la regla de la cadena a l'equació següent que trobaràs de color blau:
regla_de_la_cadena_EXEMPLE.PNG


9. Càlcul de derivades


Per trobar la derivada de funcions elementals no cal fer servir la definició, perquè hi ha regles que en faciliten el càlcul. Aquestes taules o regles són específiques segons el tipus de funció amb el qual es treballa, ja siguin funcions polinòmiques, logarítmiques, exponencials, etc.
Quan ens trobem davant de funcions compostes, utilitzarem la regla de la cadena.

9.1 Derivades de la funció constant i identitat


La derivada de la funció constant és 0. Això és perquè una funció constnat (sense incògnita), en la seva representació gràfica és una recta paral·lela a l'eix de les X, i per tant no té pendent. Com que la derivada és la pendent de la recta tangent, i aquí no n'hi ha, aquesta és l'explicació del perquè és nul·la.
911.PNG
Comprovació amb la formula del límit de derivada:
921.PNG
La derivada de la funció identitat és 1. Si representem la funció y = x, veurem que el seu pendent és 1, ja que avança tantes x com y.
912.PNG
Comprovació amb la formula del límit de derivada:
922.PNG


9.2 Derivada de les funcions potencials


La derivada de les funcions potencials ja depenen, lògicament del seu exponent. Aquesta derivada és igual a l'exponent de la x per la base elevada a l'exponent menys una unitat.
913.PNG

- Exemple:
Troba la derivada d'aquestes funcions:
exemple_f._potencials_I.PNG

exemple_f.potencials_II.PNG

9.3 Derivada de les funcions exponencials


Les funcions exponencials són aquelles funcions que tenen la incògnita en l'exponent. Es resolen amb les taules de la següent manera:
expo.PNG
On a és un nombre real.
La primera de les funcions és quan l'exponent del que hem de derivar és X, i la segona és quan l'exponent de la funció que hem de derivar és una altre funció. En realitat no hi ha diferència entre aquestes dues funcions, ja que f'(x) en el primer cas és 1, i com multiplica no altera el producte.
Quan derivem l'exponent del nobre e, utilitzem aquestes altres taules:
derivar_n._e.PNG
Aquestes dues altes taules d'equacions tampoc són diferents a les altres dues primeres ja que en aquest cas com que el logaritme neperià de e és 1 i està multiplicant no altera al producte, ni en un cas, ni en l'altre.

- Exemples:
Troba la derivada d'aquestes dues funcions (les que són de color blau):
exponencial._Exemples..png

9.4 Derivada de les funcions logarítmiques


La derivada d'una funció logarítmica és igual a la derivada de la funció dins del logaritme, dividit entre aquesta mateixa funció i pel logaritme neperià de la base.
D._log.PNG
-Exemple:
Troba la derivada d'aquestes funcions logarítmiques:
logaritmiques_exemple.png

9.5 Derivada de les funcions trigonomètriques


Les derivades de les funcions trigonomètriques són:
D._trigo.PNG

- Exemple:
Troba la derivada de les següents funcions:
trigo_exemples..png

10. Tècniques de derivació


De tant en tant, ens trobem davant de funcions que costa molt calcular-les per les taules. Sense deixar d'utilitzar les taules de derivació, hi ha tres mètodes importants que cal tenir en compte per si de cas, ens trobem amb un d'aquests casos difícils.

10.1 Derivació logarítmica


Apliquem logaritmes i les seves propietats a funcions que, per exemple tenen la x tant a la base com en l'exponent:
1. Apliquem logaritmes a tots dos membres de al funció.
2. Derivem tots dos membres. En el primer membre, quan derivem ln f(x) apliquem la regla de la cadena, i en el segon, hem de derivar un producte de funcions.
3. Aïllem f'(x) i substituïm f(x) pel seu valor.

- Exemple:
Dedueix la derivada del producte de deus funcions a partir de la derivació logarítmica.
Si apliquem logaritmes a la funció h(x) = f(x) ·g(x), i després derivem tots dos membre de la igualtat resulta:
exemple_log_I.PNG
Quan aïllem h'(x) i substituïm h(x) pel seu valor, obtenim el resultat que coneixem.
logaritmes_II.PNG

10.2 Derivació d'una funció implícita


Per calcular la derivada d'una funció expressada implícitament no cal obtenir-ne la forma explícita. Li apliquem aquests passos següents:
1. Derivem la funció respecte de la variable x
2. Aïllem la derivada y'.
3. Substituïm el punt en l'expressió de y' cal tenir en compte que, com que el resultat anterior depèn de x i de y, per determinar la derivada en un punt en necessitem les dues coordenades.

- Exemple:
Troba la derivada d'aquestes equacions implícites i calcula'n el valor en el punt (7,-2).
implicita.PNG

10.3 Derivació de la inversa d'una funció


Si una funció f és derivable en AAA.PNGi aquesta derivada és diferent de zero, la funció inversa és derivable en x i el seu valor.
AAB.PNG
Per demostrar aquest resultat, però, hem de tenir en compte que, si existeix la inversa d'una funció, es compleix que:
ABB.PNG
Així doncs, si derivem a tots dos costats de la igualtat, resulta que:
ltima.PNG



Problema resolt


Problema_resolt_I.png

Problemes a destacar


Fes les següents derivades utilitzant tot el que has après fins ara:
Exercici_1._enunciat.png ..........Solucions.........Exercici_1._solucions.png

Prova de Selectivitat


1. Fes servir la definició de derivada per trobar la derivada de la funció f(x) següent en el punt X˳=3
sele1.PNG
2. Determina en quins punts de la gràfica de la funció següent y, la recta és paral·lela a la recta y˳= x+7
sele_2.PNG
3. Calcula la derivada de la funció següent i simplifica el resultat tant com puguis:
sele3.PNG