2

1. Creixement i decreixement

Quan estudiem el creixement i el decreixement d'una funció, diem que analitzem la monotonia de la funció.

1.1 Funció creixent

Per a que una funció sigui creixent ha de complir que:
4
5

1.2 Funció decreixent

Per a que una funció sigui decreixent ha de complir que:
j1
j2

Determinar el creixement i el decreixement d'una funció
  1. Derivar la funció.
  2. Obtindre les arrels de la derivada primera, per això fem:
8
3. Formem intervals oberts amb els zeros (arrels) de la derivada primera i els punts de discontinuïtat (si n'hi haguessin).
4. Prenem un valor de cada interval, i trobem el signe que tenen en la derivada primera.
5. Escrivim els intervals de creixement i decreixement.

Exemple
Calculem els intervals de creixement i decreixement de la següent funció:
10
1r pas:
11
2n pas:
12
3r pas:
13
4t pas:
15
1718
5é pas:
19

2. Màxims i mínims relatius

2.1 Mitjançant la primera derivada

Si una funció
fx.jpg
presenta un màxim o un mínim en
xs.jpg
es compleix que
a.JPG
Tenim tres casos:

1. Pot haver-hi màxims i mínims relatius.
a.JPG
2. Funció de creixement en l'interval.
x0.jpg
3. Funció de decreixement en l'interval.


Determinar els màxims i mínims d'una funció mitjançant la derivada primera
  1. Fer la derivada primera.
  2. Calcular les seves arrels.
  3. Analitzar els canvis de creixement i decreixement de la funció.
  4. Calcular els màxims i mínims.

Exemple

Donada la funció:
funcio_de_la_derivada_primera_exemple.jpg
calcula els màxims i mínims.

1r pas:
derivada_primera.jpg
2n pas:
equació_derivada_primera.jpg


equacio_segon_grau.jpg

3r pas:
interval_1.jpg
interval_2.jpg
interval_3.jpg

grafica_intervals.jpg
4r pas:
final_1.jpg
final_2.jpg
grafic_amb_coordenades.jpg


2.2 Mitjançant la segona derivada


1. Una funció
fx.jpg
té un màxim en
xs.jpg
si la derivada perimera s'anul·la i la derivada segona és negativa en aquest punt.
2.1.1.jpg

2. Una funció
fx.jpg
té un mímim en
xs.jpg
si la derivada primera s'anul·la i la derivada segona és posotiva en aquest punt.
1.jpg


Determinar els màxims i mínims d'una funció mitjançant la derivada segona
  1. Calcular les arrels de la primera derivada.
  2. Fer la segona derivada.
  3. Calcular el signe que agafen en elles els zeros de la derivada primera.
  4. Calcular l'imatge del.

Exemple
Donada la funció:
2.jpg
calculem els seus màxims i mínims.

1r pas:
3.jpg
2n pas:
11.jpg
5.jpg
3r pas:
6.jpg
4r pas:
12.jpg
13.jpg
5é pas:
14.jpg
15.jpg
16.jpg

3. Concavitat i convexitat

Quan estudiem la convexitat i la concavitat d'una funció, diem que analitzem la curvatura de la funció.

Una funció és convexa en un interval (a,b) quan la recta tangent al gràfic de la funció en qualsevol punt de (a,b) està situada per sota d'aquest gràfic a tot l'interval, excepte en el punt de tangència.


Una funció és còncava en un interval (a,b) quan la recta tangent al gràfic de la funció en qualsevol punt de (a,b) està situada per sobre d'aquest gràfic a tot l'interval, excepte en el punt de tangència.


3

Criteris de convexitat o concavitat
1.- Per la derivada primera:
a) si una funció és convexa les pendents de les tangents augmenten (f' creixent).

j3

b) si una funció és còncava les pendents de les tangents disminueixen (f' decreixent).
9

2.- Per la derivada segona:
a) si f és convexa llavors f' creixent, per tant f'' > 0.
b) si f és còncava llavors f' decreixent, per tant f'' < 0.

Determinar la concavitat i la convexitat per la derivada segona

1.- Trobem la derivada segona i calculem les seves arrels.
2.- Formem intervals oberts amb els zeros (arrels) de la derivada segona i els punts de discontinuïtat (si els haguès).
3.- Prenem un valor de cada interval, i trobem el signe que té en la derivada segona.
4.- Escrivim els inetrvals.

Exemple

Estudia els intervals, la concavitat i la convexitat de la funció: f(x) = x3 − 3x + 2

1r pas:
f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0

2n pas:
cc1.jpg
3r pas:
Si f''(x) < 0 és còncava Si f''(x) > 0 és convexa

De l'interval (− ∞, 0) agafem x = −1, per exemple
f''(−1) = 6(−1) < 0 Còncava

De l'interval (0, ∞) agafem x = 1, per exemple
f''(1) = 6 (1) > 0 Convexa
cc3.jpg
4t pas:
Convexitat: (0, ∞)
Concavitat: (−∞, 0)


4. Punts d'inflexió

El punt que, en una funció continua, separa la part convexa de la concàva, es diu punt d'inflexió de la funció. En ells la funció no és concàva ni convexa, sinó que hi ha canvi de concavitat a convexitat o a la inversa.
capturada.jpg

4.1 Mitjançant la derivada segona

Els punts d'inflexió es caracteritzen per:
1.-
external image image002.gif


sigui l'equació d'una funció.

2.-
Si
external image image004.gif
no existeix, i la derivada
external image image006.gif
canvia de signe al passar per el valor de x = a, llavors, el punt de la funció x = a és un punt d'inflexió.

3.-
Els punts d'inflexió on la funció és derivable, tenen la característica de tindre uma recta tangent que creua la gràfica de f.


Determinar els punts d'inflexió d'una funció

1. Fer la primera i la segona derivada de f (x).
2. Fem la igualació
f ''(x) = 0.

3. Resolem l'equació per a poder determinar els possibles punts d'inflexió.
4. Determinem els intervals de convexitat i concavitat.
5.- Analitzem els canvis de concavitat de la funció.

Exemple
Calculem els punts d'inflexió de la següent funció:

capturada_2.jpg

1r pas:

_3.jpg

2n pas:

654.jpg

3r pas:

987.jpg

4t pas:

f '' ( 0 ) < 0 i f '' ( 2 ) > 0 Per tant, la funció és còncava en ( - ∞, 1) i és convexa en ( 1, +∞).

5é pas:

f (x) és còncava a l'esquerra de x = 1 i convexa a la dreta de x = 1. Per tant, x = 1 és el punt d'inflexió.

Gràfica

22

4.2 Mitjançant la derivada tercera

Si f i f' són derivables en a:

- a és un punt d'inflexió sif''(a) = 0

- a és un punt d'inflexió si f'''(a) ≠ 0

Determinar els punts d'inflexió d'una funció

1. Calculem la primera, segona i tercera derivada de f(x).
2. El resultat de la segona derivada l'igualem a zero i obtenim les arrels o possibles punts d'inflexió.
3. S'evalua la tercera derivada amb els valors de les arrels o possibles punts d'inflexió obtinguts en el pas anterior. Al moment d'evaluar, l'arrel on s'anuli la tercera derivada, allà no hi haurà un punt d'inflexió. Si la tercera derivada no s'anula, en aquesta arrel si que hi haurà un punt d'inflexió.
4. A la funció original calculem els valors de les ordenades segons es tracti d'una o varies.

Exemple
Calculem els punts d'inflexió de la següent funció:
8.jpg

1r pas:

87.jpg

2n pas:

214.jpg

3r pas:

24
4t pas:
26

5. Optimització de funcions


Per a resoldre els problemes d'optimització cal seguir els següents pasos:

1.- Identificar i nomenar les variables.

2.- Trobar la funció que hem d'optimitzar. Pot dependre d'una o més variables.

3.- Si depèn de varies variables s'ha de trobar la relació que existeix entre elles.

4.- Expressar la funció amb una sola variable.

5.- Derivar la funció i trobar els màxims (o mínims).

6.- Comprobar si en aquests punts es compleixen les condicions del problema.

7.- Trobar els valors de la funció als seus extrems per si és en aquests punts on es compleixen les condicions de l'encunciat.
Aquests pasos poden reduir-se en els casos senzills.

Exemple amb una variable

Troba el nombre positiu la suma del qual amb 25 vegades la seva inversa sigui mínima.

Anomenem x al nombre que busquem. Ha de ser x > 0. Hem de minimitzar la funció:

op2.jpg
Exemple amb dues variables

De tots els triangles rectangles els catets dels quals sumen 10 cm, troba les dimensions d'aquell l'àrea del qual és màxima.
op3.jpg

6. Teorema de Rolle


Si una funció f(x):

1.- és contínua sobre el segment [a,b]
2.- és derivable en l'interval (a,b)
3.- es redueix a zero en els extrems x = a i x = b [f(a) = f(b) = 0]

llavors dins del segment [a,b] existeix com a mínim un punt, x = c, a < c < b, en el qual la derivada f'(x) = 0.

El que vol dir aquest teorema es pot veure a les següents gràfiques:

tr1.jpg

Demostració

És contínua en [a,b] => pel teorema de Weierstrass f té màxim absolut M y mínim absolut m en [a,b].

Per a tot x pertanyent a [a,b] m <= f(x) <= M.

Existeix x1 pertanyent a [a,b] / f(x1)=M.

Existeix x2 pertanyent a [a,b] / f(x2)=m.

Si m = M => per a tot x pertanyent a [a,b]f(x) = M=>f'(x) = 0

Sinó, m < M => com a mínim un dels punts, x1 o x2, correspon a l'interior de l'intervalo, a (a,b), per exemple x2.

=> (a,b) es comporta como un entorn de x2.

Es compleix que per a tot x pertanyent a (a,b) f(x2) <= f(x)

=> Per definició de mínim relatiu f presenta un mínim relatiu en x2. (1)

f és derivable per hipòtesis. (2)

De 1) y 2), per Condició necessària per a l'existència d'extrems relatius f'(x2)=0

Exemple
Comproba que la funció f(x) = x 2 – 4x + 11 verifica les hipòtesis del teorema de Rolle en l'interval [1, 3].
- És contínua en [1, 3] ja que és polinòmica.

- És derivable en (1, 3) ja que és polinòmica.

- f(1) = 8; f(3) = 8.

Llavors, existeix un punt c en l'interval obert (a, b) amb derivada nul·la en aquest punt.

Veiem: f´(x) = 2x – 4 f´(c) = 0 2c – 4 = 0 2c = 4 c = 2

El punt c = 2 està a l'interior de l'interval [1, 3].

7. Teorema del valor mitjà

També se'l coneix com a teorema de Lagrange.
Si una funció és:
1. Contínua en [a, b]
2. Derivable en (a, b)
Llavors, existeix algun punt c que pertany a (a, b) tal que:
tvm1.jpg
La interpretació geomètrica del teorema del valor mitjà ens diu que hi ha un punt en el qual la tangent és paral·lela a la secant.


tvm2.jpg

Demostració

Definim una funció auxiliar g(x) = f(x) + hx, h pertanyent a R.

g és contínua en [a,b] per ser suma de funcions contínues.

g es derivable en (a,b) per ser suma de funciones derivables.

Volem que g(a) sigui igual a g(b) per a aplicar el teorema de Rolle

tvm6.jpg

tvm5.jpg


Exemple

¿Es pot aplicar el teorema del valor mitjà a f(x) = 4x2 − 5x + 1 en [0, 2]?

f(x) és contínua en [0, 2] i derivable en (−1, 2) per tant es pot aplicar el teorema del valor mitjà:

tvm3.jpg

tvm4.jpg


8. Teorema del valor mitjà generalitzat

També se l'anomena Teorema de Cauchy

Si tomem f i g com a funcions contínues en l'intevral [a, b], i a la vegada derivables en l'interval (a, b) i també es dona que g(a) ≠ g(b), en aquest cas tenim que existeix algun punt c que compleix:
17.jpg
Demostració del teorema del valor mitjà generalitzat
Definim la funció:
18.jpg
Es comproba que la funció compleix les condicions del teorema de Rolle en l'interval [a, b].
  • h és contínua en [a, b], perquè ho són f i g.
  • h és derivable en (a, b), perquè ho són f i g.
  • h(a) = f(a)[g(b) - g(a)] - g(a)[f(b) - f(a)] = f(a)g(b) - g(a)f(b).
  • h(b) = f(b)[g(b) - g(a)] - g(b)[f(b) - f(a)] = -f(b)g(a) - g(b)f(a).

Per tant, tenim que h(a) = h(b)

Segons el teorema de Rolle, existeix algun punt en c de tal manera que h'(c) = 0
19.jpg

Exemple
Analitza si el teorema del calor mitjà generalitzat és aplicable en l'interval [0, 2] a les funcions:
teorema_de_cauchy_7.jpg.jpg
Les funcions f (x) i g (x) són contínues en l'interval [0, 2] i deribables en (0, 2), per ser funcions polinòmiques. I a més g (0) g (2).
teorema_de_cauchy_8.jpg.jpgc = 0
teorema_de_cauchy_9.jpg.jpg

g' (x) ≠ 0
Es pot aplicar el teorema del valor mitjà.

9. Regla de l'Hôpital

Considerant f i g funcions derivables en un interval obert

regla_de_l'hopital.jpg

regla_de_l'hopital1.jpg.jpg

Aleshores també existeix

regla_de_l'hopital2.jpg

i el seu valor és:

regla_de_l'hopital3.jpg.jpg

Utilitzem la regla de l'hôpital per resoldre les indeterminacions del tipus
regla_de_l'hopital4.jpg.jpg.jpg
regla_de_l'hopital5.jpg.jpg

Exemple

regla_de_l'hopital6.jpg

regla_de_l'hopital7.jpg

regla_de_l'hopital8.jpg

9.1 Indeterminacions del tipus inf/inf

regla_de_l'hopital9.jpg
regla_de_l'hopital10.jpg
Exemple
Calcula el limit:
capturada.jpg
l'hopital.jpg

9.2 Indeterminacions del tipus 0 · inf

regla_de_l'hopital12.jpg
regla_de_l'hopital13.jpg
Exemple
Calcula el limit:

hopital.jpg
hopital3.jpg

9.3 Indeterminacions del tipus inf - inf

hopital4.jpg
hopital13.jpg
hopital23.jpg

Exemple

Calcula el limit:
hopital5.jpg
hopital_9.jpg
hopital_11.jpg

9.4 Indeterminacions del tipus 1^inf, inf^0 i 0^0.

hopitall.jpg
Procediment
  1. Comprovem si, quan calculem el límit, obtenim una indeterminació del tipus anteriomente esmentat.
  2. Agafem logaritmes neperians i apliquem les propietats per calcular el nou límit.
  3. Efectuem les transformacions que calgui i apliquem la regla de L'Hôpital tantes vegades com faci falta per resoldre les indeterminacions.
  4. Determinem el límit inicial per mitjà de les propietats dels logaritmes.
Exemples
a) Indeterminació del tipus 1^infinit

apital.jpg

apital1.jpg

apital2.jpg

b) Indeterminació del tipus 0^0

apital3.jpg

apital4.jpg

apital5.jpg

apital6.jpg

apital7.jpg

c) Indeterminació del tipus infinit^0

apital8.jpg

apital9.jpg

apital10.jpg

apital11.jpg

apital13.jpg





Problemes resolts


Problemes a destacar


Prova de Selectivitat