1. FUNCIONS ELEMENTALS



    Cal recordar...

    1. Pendent d’una recta

(m) mesura la inclinació que té al recta respecte l’eix X.
Com calcular-lo:
  • Agafem dos punts A(x,y) i A’(x’,y’) els quals formen part de la recta.
  • m = (y’ – y) / (x’ – x)
    external image dd4a28f1297687c4334d50dd5e87eea0.png
    external image 1b1a5b66fdbc1181efb8bedd8a8d898c.png
Propietats:
  • Pendent positiu: la funció és creixent.
  • Pendent negatiu: la funció és decreixent.

    1. Paràbola
És el lloc geomètric dels punts qeu estan a la mateixa distància d’un punt fix anomenat focus i d’una recta, que és la directriu.
Propietats:
  • La distància entre la directriu i el focus l’anomenem p.
  • L’eix és la recta que passa per F i és perpendicular a d.
  • El vètex (V) és l’intersecció de l’eix amb la paràbola.
external image 400px-Partes_de_una_par%C3%A1bola.svg.png
Hipèrbola







És el lloc geomètric dels punts que verifiquen que el valor absolut de la diferència de les seves distàncies a dos puns fixos, anomenats focus (F).
Propietats:
  • |d (P , F) – d ( P , F’)| = k
  • V i V’ són els vèrtex.
  • L’eix és la recta que uneix els focus.
  • Les asímptotes són les dues rectes a les quals al hipèrbola s’acosta indefinidament sense arrigar a tocar.

external image 280px-Hyperbola_properties.svg.png

Raons trigonomètriques
Recorda que els angles es poden representar en el primer quadrant amb la seva raó trigonomètrica corresponent, veguem un exemple:
  • 150º = 180º -30º per tant:
    • sin 150º = sin 30º
    • cos 150º = - cos 30º
    • tan 150º = - tan 30º
external image v9le9gjqchbexgri.jpgexternal image trigon.jpg










Funcions polinòmiques


De primer grau
S’anomenen funcions afins i són de tipus f (x) = mx + n. La gràfica és una recta que passa per el punt (0 , n) i n s’anomena ordenada a l’orígen.

Característiques:
  • El domini és

Típus:
  • Si m = 0 la funció y = nés constant.
    external image Funciones+Af%C3%ADn.JPG
  • Si n = 0 la funció y = mx és lineal.


De segon grau
S’anomenen funcions quadràtiques i són de tipus f (x) = ax2 + bx + c. La seva gràfica és una paràbola.
Característiques:
  • El domini ésexternal image 0c95a37acc94ef8c093ce39c36e07886.png

  • Si a > 0 la paràbola és un mínim.
  • Si a < 0 la paràbola és un màxim.
  • Com més gran sigui |a| més tancades estan les branques de la paràbola.

external image img1.jpg



Funcions racionals
La seva expressió algebràica és el quocient de polinòmis. external image 2a14cf2d219c881356924cfd3d21ad98.png



La proporcionalitat inversa es una funció racional l’expressió algebràica de la qual és de tipus y = k / x amb k diferent que 0.
Característiques:
  • El domini és – {0} on x = 0 hi ha una asímptota vertical.
  • Si x creix o decreix, la funció s’acosata a y = 0 on hi ha una asímptota horitzontal.
  • No talla els eixos de coordenades en la gràfica.
  • La funció es de simetria imparella. f(x)=-f(x)
    external image imparella.JPG
external image 20070926klpmatfnc_86.Ges.SCO.png




Funcions amb radicals
La seva expressió algebràica apareix external image imgraiz1.gif o si està traslladada depenen dels eixos (X,Y):
external image imgraiz2.gif

Característiques:
  • Si l’arrel és un nombre parell, el domini es l’interval en que el radicant és major o igual que 0.
  • Si l’arrel és imparell, el domini és external image 0c95a37acc94ef8c093ce39c36e07886.png

external image Funci%C3%B3n_ra%C3%ADz_1.png

Funcions exponencials
És de típusexternal image 68fa260a5ac7948cb8d27d3b88aabe6b.png a ha de ser un nombre real positiu i diferent d’1.
Caracterísitiques:
  • El domini ésexternal image 0c95a37acc94ef8c093ce39c36e07886.png


  • El recorregut és (0 ,external image d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png).
  • La funció sempre passa per el punt (0, 1) i per (1 , a).
  • Si a > 1 és creixent
  • Si 0 < a < 1 és decreixent


external image 20070926klpmatfnc_97.Ges.SCO.png




Funcions logarítmiques


Són de tipus: f (x)= log a (x) on la base del logaritme és un nombre real positiu, i diferent d’1.

Característiques:
  • Dom és (0 , +external image d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png) ja que només existeix per a valors positius, i per tant el recorregut és igual.
  • La funció sempre passa per el punt (1 , 0) i (a , 1).
  • Si a > 1 és creixent.
  • Si 0 < a < 1 és decreixent.


external image 20070926klpmatfnc_106.Ges.SCO.png






Funcions trigonomètriques
Funció sinus
f (x) = sin x
Característiques:
  • Està definida per qualsevol valor, per tant el seu domini ésexternal image 69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png.
  • El seu recorregut és [-1 , 1] ja que els sinus van en aquest l’interval.
  • Té periodicitat de 2 π, però expressat en radiands.
  • És una funció imparella, és a dir, és simètrica respecte OX

external image Seno.gif


Funció cosinus
f (x) = cos x
Caracterísitques:
  • El seu domini ésexternal image 69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png, ja que està definida per a qualsevol valor.
  • El recorregut també és [-1 , 1]
  • Té la mateia periodicitat que el sinus.
  • És una funció parella, és a dir, presenta simetria respecte l’eix Y.

external image Coseno.gif


Funció tantgent
f (x) = tan x
Caracterísitques:
  • El seu domini ésexternal image 69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png– {π/2 + kπ}
  • El seu recorregut ésexternal image 69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png


  • Té periodicitat π
  • És creixent i de simetria imparella

external image Tangente.gif


Funcions definides a trossos
És una funció amb expressions algebràiques diferents depenent de l’interval del seu domini.
external image Upper_semi.png external image 30fcf2c36482816550fc496f6f769c5c.png



Valor absolut


És la funció que associa a cada nombre real el seu valor absolut.
f (x) = |x| es pot definir com una funció definida a trossos, si la x és positiva o negativa.
external image 250px-Funcion_valor_absoluto.png
external image 39943f244b98d1c23ebb0ab987d80e2b.png





La seva gràfica està formada per dues rectes una creixent i l’altre decreixent, i que passa per l’orígen de coordenades.


Part entera


És la funció que associa a cada nombre real la seva part entera, és a dir, el primer nombre enter més petit o igual que ell. Es pot definir en la gràfica com una funció definida a trossos amb infinits trams en els quals la funció és constant.
f (x) = [x]

external image Funcion_parte_entera.gif
external image bc3328f8534b27bec8907c9afcc5348d.png