1.- Seccions còniques

Una superfície cònica s’obté en girar una recta “g” (generatriu) al voltant d’una altra recta “e” (eix), a la qual talla en un punt V (vèrtex).


Una secció cònica és una corba que resulta de la intersecció d’un pla amb una superfície cònica.


220px-Conic_sections_with_plane.svg.png





2.-Llocs geomètrics:

Si apliquem talls a la figura cònica trobaríem diferents formes com les següents:



CONICA_SUPERFICIAL.png AllFourConics.png

Segons els talls que realitzem podem obtenir Circumferències, El·lipses, Paràboles o Hipèrboles.




Passem ara a explicar els diferents tipus:

3.-El·lipse:


Per el·lipse podem entendre aquells punts del pla, la suma de les distancies a dos punts fixos anomenats focus, es constant.

d(P,F)+d(P,F’)=k

external image Elipse.png

-F i F’ son punts fixos, focus de l’el·lipse.
-La recta que conté el focus s’anomena eix focal.
-A,A’,B i B’ són els vertexs de l’el·lipse. A,A’ componen l’eix major i B,B’ l’eix menor.
-El centre s’anomena O.
d(F,F’)= 2c
d(A,A’)=2a
d(B,B’)=2b





Propietats de l’el·lipse:
-La suma de les distancies entre focus és 2a.
d(A,F)+d(A,F’)=d(A,A’)=2a
Com que “A” es un punt de l’el·lipse es compleix que:
d(A,F)+d(A,F’)=k à per tant k=2a
-La distancia entre els vèrtex B i B’ es “a”
-En la el·lipse es compleix sempre que:

Sin_título.jpg


Equació de l'el·lipse


Demostració:

Com que: d(P,F) + d(P,F')=2a es igual a:


Si p(x, y) es un punt que pertany a l'el·lipse, s'enten que external image imageT6T.JPG, o ,external image imageSTM.JPG


Si transportem el primer radical al segon lloc y elevem al cuandrat en els dos llocs obtenim:
external image image837.JPG
Si simplifiquem queda:
external image imageEM1.JPG
Tornem a elevar al quadrat per desfer-nos de la equació:
external image imageUNK.JPG
Es redueix a:
external image image3MD.JPG
Al final obtenim: external image imageGMQ.JPG: que correspon a la equació reduida de l'el·lipse.


Exentricitat de l'el·lipse

Entenem per exentricitat:
external image apfg5z.jpg e=0 -> o la c=0 parlarem d'una circumferència.




Hipèrbola


Elements i propietats:
external image 280px-Hyperbola_properties.svg.png

|d(P,F) - d(P,F')|=k


distancia focal: d(F,F')=2a
d(A,A')=2a
c>a

Propietats:
P=A (a,0) --> |d(A,F) - d(A-F')|=k per tant --> 2a=k





Equació de la hipèrbola:

Si P(x, y) es un punt que pertany a la hipèrbola, s'enten que:

external image Image70.gif ó external image Image71.gif
D'on,
external image Image72.gif ó external image Image73.gif
Es a dir, external image Image74.gifEquivalentment, utilitzant la formula de la distancia pondem obtenir:
external image Image75.gif

Elevant al cuadrat obtenim:
external image Image76.gif
Elevem un cop més al cuadrat per desfer-nos de l'arrel:

external image Image77.gif
finalment,external image Image80.gif obtenim l'equació reduida de la hipèrbole.


Exentricitat:
external image apfg5z.jpge>1



PARÀBOLA

external image parabola+features+focus+directrix+vertex+axis.gif

Elements:

d(P,F) = d(P,r)

Si anomenem P a la "d" que hi ha entre F i la recta: P=d(F,r)







Equació:

Sigui P(x, y) un punt de la paràbola llavors,external image imageLEO.JPG .
Pero, external image imageUDT.JPG y external image imageSKU.JPGDesprés, external image imageCOJ.JPGElevant al cuadrat ambos membres de la última igualtat, i desenvolupant binomis obtindrem: external image imageBG4.JPG, i simplificant queda finalment, external image imageL1G.JPGPer hipótesis,external image imageL3I.JPG



CIRCUMFERÈNCIA


d(P,C)=r
external image 20070926klpmatgeo_306.Ges.SCO.png



Equació de la circumferència:

Considerem la circunferencia centrada en O(a, b) i de radi r .
d(X, O) = r, es decir:
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
Si desarollem els cuadrats obtenim:
x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2
x2 + y2 -2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
Si nombrem A = -2a, B = -2b y C = a2 + b2 - r2, obtenim:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 La equació reduida de la circumferència.