1. Definició
Els nombres complexos són els nombres que abarquen els nombres reals () i les parts imaginàries anomenades i ( = ) ja que, aquests pertanyen a l'eix de coordenades bidimensional:

grafica_complexos.jpg

Una forma clara de veure el món complex:

esquema_nombres_complexos.jpg


1.1 Història dels nombres complexos
EL gran matematicDiofanto(275 d.C) va construir un triangle amb una corda en la que hi havia realitzat 12 nusos equidistants. Els dos mesuraven 3, 4 i 5 unitats. Com que el triangle era rectangle, cumpleix el teorema de Pitàgores: 324252. Després amb la matèixa corda va voler fer un triàngle que donés com a resultat 7u. Per la qual cosa va fer l’equació:
  1. imatge_complexos_1.jpg
    I com que la suma dels costats havia de ser 12:
    complexos.jpg
    Aixa va arribar a l’equació de segón grau:
    capturada.jpg
    Per tindre finalment:
    capturada4.jpg
    Haches problema es va poder resoldre a l’any 1777 quan Leonhard Euler va anomenar a i = arrel_de_-1.jpg



1.2 Forma binòmica d'un complex.
La forma binòmica d’un nombre complex es representa amb l’expressió z = a + bi. A partir d’aquí descobrim que:
* Si a = 0, z és un nombre real
* Si b = 0 i a = 0, z és un nombre imaginari pur.

1.3 Conjugat i oposat d'un complex.
Sabent un nombre complex z = a + bi.

*L'oposat de z és -z = -a - bi.
*El conjugat de z és = a – bi.



2. Representació de complexos. Diagrama d’Argand

El medi de representació dels nombres complexos és el Diagrama d’Argand, un plà comlpex que consta d’uns eixos cartesians dels quals l’horitxontal o X representa els nombres reals i el vertical o Y representa la part imaginària.


grafic_2.jpg

Els nombres complexos representats en un plà complex corresponen a un punt determinat de coordenades (a, b). Aquest punt s’anomena afix del nombre complex z.
3. Operacions amb complexos.
3.1 Potències d'i__
Sabent que i equval a arrel_de_-1.jpgdeterminem que:

Sabent que i equval a determinem que:
  • i2 = ( arrel_de_-1.jpg )2 = -1
  • i3 = i2 · i = -i
  • i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
  • Per a altres potències superiors operem: i37= 37:4 = 1/9 = ( i4 )9 · i

3.2 Operacions amb complexos
Si tenim dos nombres de la forma :
  • z + z = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
  • z – z = (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
  • z · z= (a+bi) · (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
  • z/z = de.jpg




4. Forma polar
La forma polar de z es descomposa en el mòdul ( ) i l’argument (arg (z) =α).
Per tant la forma polar s’expressa z = r α.

capturadaas.jpg
4.1 Pas de binòmica a polar
Tal com s’ha esmentat z = r α. I, per tant,
dsa.jpg



α = arctan(b/a)

4.2 Pas de polar a binòmica
Tenint en conte que z = r α. Podem deduir que a = r · sin α i que b = r · cos α. Per tant la forma trigonomètica del nombre z s’expressa: z = r ( cos α + i sin α).

5. Multiplicació i divisió en forma polar

5.1 Producte
z1 · z2 = rα · sβ = rα = r · cos α + r · sin α = r (cos α + i sin α) · s (cos β + i sin β)

sβ = s · cos β + s · sin β

= r · s (cos α · cos β + cos α · i sin β + i sin α · cos β + sin α · i sin β2) =

= r · s (cos α · cos β - sin α · sin β) + (sin α · sin β + sin β · cos α) i = r · s (cos (α+β) + i sin (α+β))

5.2 Quocient
rα / sβ


( r / s ) α – β ------- perquè: sβ · ( r / s )α – β


(s · r /s)α – β + β = rα


6. Potències de complexos

Forma polar

( rα )n = rα · rα · rα · rα · rα · ... rα = (r · r · r · r ·... r ) α + α + α + α + α α + ... α = ( r n ) n · α

Forma trigonomètrica

Donat z = r α. La forme de potenciar un nombre en forma trigonomètrica és
z n = (r α ) n = r n (cos nα + i sin nα)
I si r = 1 es compleix que: (1 α ) n = (cos α + i sin α)n = cos nα + i sin n

7. Arrels de nombres complexos

Donat r α busquem

df.jpg
són altres nombres de mòdul

df.jpg


i argument
lks.jpg
on k = 0, 1, ..., n-1.


Representació de les arrels ???? No veig cap representació

En la representació de les arrels n-èsimes d’un nombre al ser de mateix mòdul es compleix el següent:

  • Els afixos estàn inscrits en una circumferència de radi = mòdul del radicand.
  • Aquests afixos constituyesen els vèrtex del polígon regular amb n costats.