Repassar el Recorda (pàg 86 del llibre)

pi_large.jpg

1. Mesura d'angles

Definició de radian: Amplitud de l'angle central d'una circumferència l'arc del qual mesura un radi. És molt més gran que el grau, de fet, 2·pi rad = 360º, d'aquí trobem que pi = 180º, pi/2 = 90º, pi/6 = 30º, pi/3 =60º... I també, que en una volta entera i caben més de tres radians, en concret 3,14159... Perquè en 1 radiàn = 360º/2pi = 57º 17' 45''




2. Raons trigonomètriques d'un angle agut alfa.

La trigonometria neix per la constància de les raons entre dos costats qualselvols si estudiem diferents triangles rectangles semblants:
semejantes.jpg

A la figura tenim que : OM1/ ON1= OM2/ON2= OM3/ON3 = ··· Entre 3 costats que té un triangle rectangle, tan sols hi ha sis raons possibles a/b, a/c, b/c, b/a, c/a i c/b. Per tant, definim tres de directes o fonamentals i tres d'inverses a les anteriors.
triangulorazones.png


Són les diverses raons entre els costats d'un triangle rectangle un del angles aguts és alfa (a).
sen.JPG
cos.JPG
tg.JPG
Les inverses serien :
cosec.jpg
sec.jpg
ctg.jpg

Pregunta molesta...
Per què el sinus i el cosinus d'un angle sempre és més petit que 1?





3. Relacions entre les raons trigonomètriques


triangle_recte.png


  1. La anomenada pitagórica: Si

ara dividim pel quadrat del valor de la hipotenusa

Ens queda:
I com que,

resulta que :

  • 2.

i també de dividir la primera pel quadrat del cosinus...





4. Raons trigonomètriques exactes de 30º, 45º i 60º

Algunes raons d'angles molt concrets es poden trobar de manera geomètrica, molt fàcilment, i de manera exacta (tots els seus decimals, infinits)

60º.JPG

45º.JPG


30º------------ 45º------------ 60º
sin A


cos A


tan A
taula.JPG




5. Raons trigonomètriques d'un angle no agut


Per definir les raons trigonomètriques d'un angle més gran de 90º no podem fer-ho mitjançant un triangle rectangle perque no pot tenir un angle superior de 90º.

Anem a redefinir de nou les raons trigonomètriques d'un angle de manera que serveixi per qualsevol angle i sigui equivalent a la definició anterior pels angles entre 0º i 90º.

Dibuixarem una circumferència de radi 1 (anomenada goniomètrica) en uns eixos de coordenadas cartesianas. Cada punt de la circumferència representa un angle.

goniu.jpg

Llavors veiem que les raons principals de sinus i cosinus d'un angle coincideixen amb les coordenades cartesianes del punt C, la abcissa és el cosinus i l'ordenada és el sinus.

Els signes de les raons dependrà del quadrant on estem, com les coordenades cartesianes:

trigonometria08.gif
D'aquí podem deduir el signe de la resta de les raons trigonomètriques, tangent, cosecant, scant i cotangent.


ltrigo.jpg

Es poden trobar altres segments de la figura on coincideixen amb les restants raons trigonomètriques.
Per exemple:

tangentesecante.gif
Tots sabem que sin t= AP, també que cos t= OA, per tant, la tan t= AP/OA=BC/OB= BC, la segona igualtat és per proporcionalitat entre els dos triangles semblants. A més OB= 1 per ser el radi de la circumferència. Per una altra banda, veiem que OS/OB=OP/OA, o sigui, OS/1=1/cos t, per tant OS= cosec t, i també EM/1= cost/ sin t, o sigui EM = cotan t. Finalment, OM/1= 1/ sin t, i així, OM= sec t.

5.1 Reducció al primer quadrant:

Un angle pot estar situat en qualsevol dels quatre quadrants de la circumferència. Els valors de les seves raons trigonomètriques dependràn de la seva posició.
Quan un angles es troba situat en el segon, tercer o quart quadrant, empre es posible relacionar-lo amb un altre del primer quadrant que tingui les línies trigonomètriques amb els mateixos valors absoluts.
Les relacions entre les raons trigonomètriques dels angles situats en els diferents quadrants era esencial en l'época que no tenien calculadores.
Hi havien unes taules amb els valors de les raons per angles del primer quadrant. La resta dels angles no figuraben a les taules perquè no era necessari, esra suficient reduir-lo al primer quadrant.
Avui dia el tema segueix sent d'interès per aplicar les raons trigonomètriques inverses (anomenades funcions arco), es a dir, per determinar un angle coneguda una de les seves raons. La calculadora proporciona tan sols una solució. la resta de solucions es troben amb el coneixements introduits en aquesta unitat.
Es treballa en circumferències goniomètriques. ( r=1 )

1r cas: Relació entre les raons trigonomètriques d'angles suplementaris.

Es diuen suplementaris els que sumen 180º. Si el valor d'un angle és A el seu suplementari serà 180º- A.
La relació de les raons entre angles suplementaris permetrà reduir els angles del segon quadrant.


2_a_1.jpg


Com podem veure els triangles OMA i ONP són iguals, perquè com són rectangles, i ténen la mayeixa hipotenusa ( r ), també coincideixen en l'angle agut MOA que é el mateix que PON, per tant els trinagles són iguals i la resta de elements també. Així,
sin ( 180º - A )=NP/AM= sin A
cos ( 180º - A )=ON- OM = - cos A
i el seus quocients...
tan ( 180º - A )=NP/ON=AM/(-OM) = - tan A

2n cas: Relació entre les raons trigonomètriques d'angles que es diferencien en 180º.
Si un angle val A, l'altre que es diferència 180º amb ell serà 180º+A.



3_a_1.jpg

Com es pot veure a la figura, els triangles OMA i OPN són iguals, perquè com son rectangles i ténen la mateixa hipotenusa, al coincidir en l'angle agut AOM amb el NOP, seràn iguals i per tant coincidiràn en la resta dels seus elements.

sin ( 180º + A )=PN- AM = - sin A
cos ( 180º + A )=NO- OM = - cos A
tan ( 180º + A )=PN/ NO=(-AM)/(-OM) = AM/OM = tan A

3r cas: Relació entre les raons trigonomètriques d'angles oposats

Si un angle s'anomena A el seu oposat es diu -A.


4_a_1.jpg
Com es pot veure a la figura, els triangles OMA i ONB són iguals, per que com són rectangles tenen la mateixa hipotenusa (OA = OB) i un angle agut: angle (AOM) = angle (BOM) = A
Per tant,
sin (-A)=BN- MA = - sin A
cos(-A)=ON=OM = cos A
i fent el quocient del sinus pel cosinus...
tan (-A)=sin (-A)/cos(-A)=- sen A / cos A = - tan A

Trobeu les raons següents: sin 150º, sin 225º, sin 300º, cos 150º, cos 225º, cos 300º, tan 150º, tan 225º, tan 300º.

5.2 Angles que superen els 360º:

Hem de dividir per 360º, però fent una divisió entera. Les raons del nostre angle A, coincidiran amb les del residu A - k·360º,
per exemple: sin 1845º= sin (5· 360º+45º) = sin 45º . Dit d'un altra manera, traiem les voltes extres.

Trobeu totes les raons directes de 475º, 885º, 1130º, 695º, 1215º, 985º.

En aquestes alçades tindrieu que tenir fets els següenta exercicis del tema: 1, 3, 5, 7, 10-12, 13-16. I del final 32, 34-41, 43, 45-52




6. Fórmules trigonomètriques

6.1 Angles complementaris, suplementaris i oposats:

Les raons del primer cas van creuadas,
sin(90- A)= cos A
tan(90- A)= 1/tan A
Els altres dos casos ja ho hem vist en l'apartat anterior.

6.2 Raons de la suma i la diferència de dos angles:

suma.jpg

O sigui: sin (a+b) = sina · cosb + sinb · cosa
De la mateixa manera cos (a+b)= cosa · cosb - sina · sinb
I dividint les dues expressions tenim: tan (a+b)= (tan a + tan b)/(1 -- tan a · tan b)

Veiem-ho més a poc a poc...

tan.jpg

En el cas de la resta d'angles ho podem obtenir a partir de les anteriors substituint b per (-b). Així...


resta.jpg


6.3 Raons de l'angle doble i meitat:

En el cas de del angle doble és tan fàcil com aplicar el de la suma per dos angles iguals:


dobl.jpg


I en el cas de l'angle meitat s'ha de treballar una mica més... Primer aplicarem la del cosinus de l'angle doble per alfa, com a doble de la seva meitat (alfa= 2· alfa/2). També la relació fonamental (dita pitagórica) pel cas d' alfa mitjos. Sumant i restant les dues relacions ...

meitt.jpg


La disparitat del signe es resol sapiguent en quin quadrant cau l'angle meitat.

Aquí és on heu de situar totes les identitats trigonomètriques. Heu de poder demostrar que són el mateix els dos membres. S'acostuma a comenzar pel costat més complicat fins arribar a l'altra banda, fent servir totes les fórmules conegudes o de reducció al primer quadrant.

Podeu fer els exercicis: 15-19, i del final, 54-57, 59, 62, 72, 74,75,77.




7. Equacions trigonomètriques

Sempre tenen més d'una solució, la incògnita és un angle. Y la solució acostuma a ser la mesura d'un angle i tots aquells que s'obtenen afegint-hi un nombre enter de voltes. x = a + k·360º. En aquestos casos comprovarem les solucions per agafar tan sols les vàlides.

Podeu fer els exercicis: 20 i 21, i del final, 83-88, 91-93
Un video doble de'n Julio on fa una equació potent: video1 i video2. Seguiu-lo amb atenció.




8. Resolució de triangles rectangles

Sempre a partir de tres elements donats d'un triangle ( i un d'ells com a mínim que sigui un a distància) podem obtenir la resta del elements. Utilitzant la definició de cad raó, depén del cas.
Farem servir les dades següents:
  • Si és rectangle, un angle es recte, els altrs dos són complementaris.
  • Si tenim dos distàncies podem fre ús del teorema de Pitàgores, però resulta més senzill fer anar la trigonometria.

Aquí teniu un video de'n Julio on es llueix resolvent un problema clàssic.
Podeu fer els exercicis: 22 i 23, i del final, 64, 65, 66, 68, 70, 94, 95, 97, 102



9. Teorema del sinus


tseno.jpg

Donat un triangle qualsevol, com el que tenim ABC, podem traçar la altura respecte de la base c, la anomenarem h .
Em el primer triangle ACH, podem veure que h= b· Sin A ,i que h = a · Sin B . Com que h = h, tenim la primera part del teorema demostrada: O sigui que a / sin A = b / sin B. Si ara agafem la altura respectiva al costat a, obtindriem de la mateixa manera, que
c/ sin C = b / sin B . I com que a matemàtiques, dos coses iguals a una tercera són iguals entre sí, tenim que:


tsen2.jpg

Teorema que es pot fer servir així quan desconeixem els costats, o bé al inrevés si desconeixem els angles.
També ens indica una obsevarció molt útil a Geometria, que es, a l'angle més gran se'l oposa el costat més gran i a l'angle més petit se'l oposa el costat més petit.
Farem ús d'aquest teorema quan tinguem com a dades (dos de les tres necessàries) un angle i el seu costat oposat.



10. Teorema del cosinus


tseno.jpg

Fent servir la mateixa imatge que abans tenim, si ens fixem en el triangle ACH: h = b · sin A , també que x = b · cos A.
Ara ens canviem de triangle i ens fixem en el CHB (on H és el peu de la perpendicular altura a la base c) i veiem que es compleix el teorema de Pitàgores:

tcos.jpg
Si ho desenvolupem

Teorema que rotant les variables ens dona les tre versions del mateix.
Farem ús d'ell quan tinguem coneguts els elements següents: o bé dos costats i l'angle que intercepta o bé dos costats i l'angle que s'oposa en un d'ells.



11. Resolució de triangles


1. Cas senzill: Treballem amb triangles rectangles. Buscarem quina és la raó que millor s'adapta al nostre cas, que relacioni el costats i l'angle, de manera que amb una de les tres raons principals sempre es pot aconseguir conèixer, del tres elements, el tercer que serà la incògnita.
2. Cas costat angle costat: El millor és fer servir el teorema del cosinus. Depén de qui sigui la incògnita, podrà donar lloc a una equació de segon grau, per tant pot donar una , dos o cap solució. Sempre tindrà una comprensió geomètrica, segons el cas.
3. Cas angle costat angle: El teorema del sinus va molt bé en aquesta situació. Sempre podem obtenir el tercer angle que falta per ser el suplementari de la adició dels dos coneguts. A partir d'aquí és molt fàcil trobar els dos costats que falten.
4. Si coneixem els tres costats: Farem ús del t. del cosinus dos cops per trobar dos dels tres angles, el tercer ho farem per suplementarietat.

Heu de resoldre els exercicis: 30, 31, 102, 113, 114