Successions numèriques. Progressions.


==
raison.jpg

==


Una aplicació és una correspondencia entre dos conjunts de tal manera que a cada element del conjunt inicial té només una imatge.
Per tant...
Funció: aplicació de R en R
Successió: aplicació de N en R
On Im(1)=a1 és el primer terme, Im(2)=a2 és el segon terme i Im(n)=an és el terme enèsim.
Llei de recurrencia
Permet calcular un terme a partir del seu anterior/anteriors
a1=3 an = an-1 + 4
Per exemple la famosa successió de Fibonacci:
an = an-2 + an-1 , a1 = 1 i a2=1
Llei General
Amb una fórmula podem calcular un terme a partir del lloc que ocupa(n)
an = 2n + 4

Progressions aritmètiques
Successió on cada terme s'obté sumant el seu anterior amb un nombre fix anomenat diferència d
an = an-1 + d
També es pot obtenir un nombre qualsevol de la progressió, sumant al primer terme de la progressió el producte de la diferència pel nombre de termes anteriors.
an = a1 + (n - 1)d
Alerta!!
a1 = a1 + 0d
a2 = a1 + 1d
a3 = a1 + 2d
Així successivament... Del que es pot deduir:
an = a1 + (n - 1) · d

Suma dels n primers termes d'una Progressió aritmètica ( P.A.)
La suma dels n primers termes d'una PA és el producte de la semisuma del primer i l'últim terme pel nombre de termes :
2Sn = n( A1 + An )
A1 + An
------------- · n = Sn
2
Progressions geomètriques
Successió en que cada terme(excepte el primer) s'obté multiplicant l'anterior per un nombre fix anomenat raó (r)
an = an-1 * r
En una progrressió geomètrica (P.G.) s'obté qualsevol terme multiplicant-ne el primer per la potència n-1 de la raó:

n-1
r * a1 = an
Alerta!!
0
r * a1 = a1
1
r * a1 = a2
2
r * a1 = a3
Per tant... Podem deduir:
n-1
r * a1 = an

Producte dels n primers termes d'una PG
El producte dels n primers termes d'una PG és igual a l'arrel cuadrada de la potència enèsima del producte del primer per l'últim terme.
_
| n
Pn= V ( A1 * An)

Suma dels n primers termes d'una PG
La suma dels n primers termes d'una PG ve donada per la següent expressió:
n
r - 1
------- · a1= Sn
r - 1

Suma infinita dels termes d'una PG
La suma dels infinits termes d'una PG il·limitada amb | r | < 1
A1
--------- = Soo = S
1 - r

Interpolació
Si formen una PA hem fet una interpolació de h mitjans diferencials. La diferència entre dos termes qualsevol és:
B - A
----------- = d
h + 1

Si formen una PG hem fet una interpolació de h mitjans proporcionals. La raó entre dos termes de la progressio és:
_
| B
h+1 | ------- = r
V A

Interés simple
I = benefici / interés
r = rèdit anual
C = capital
t = temps(anys)
Cf = capital final

C * r * t
-------------- = I
100
Cf = C + I

Interés compost
És el comunment usat pels bancs
r t
Cf = C ( 1 + ------ )
100

Demostració intuitiva: